Diciembre

02 de diciembre de 2016
Clase 12 
DERIVADAS PARCIALES
DERIVADAS PARCIALES DE PRIMER ORDEN:

Las propiedades de la derivación de una sola variable se aplican para las funciones de 2 o mas variables. Existe el mismo número de derivadas parciales que de variables independientes.

• Si y=yo, constante, entonces z=f(x,yo) es función de una sola variable "x", entonces:

• Si x=x0, constante, entonces z=f(xo,y) es función de una sola variable "y", entonces:

El número de derivadas parciales depende del número de variables independientes que tenga la función. Se aplican las mismas reglas y propiedades de las derivadas de funciones reales de una sola variable.

13 de diciembre de 2016
Clase 13

DERIVADA DIRECCIONAL 

La derivada direccional de una función  f en (xo,yo) que se encuentre en la dirección de un vector unitario u=(a,b) se la describe con la siguiente fórmula:

Tomando en cuenta el limite, si la función es una función diferenciable de x y de y, entonces f tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u=(a,b) y se lo denota de la siguiente manera:

 REGLA DE LA CADENA 

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones podemos ver como se aplica en el siguiente cuadro:

 

Descripción de la regla

En términos intuitivos, cola si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

VECTOR GRADIENTE  

De acuerdo con el teorema, la derivada direccional se puede escribir como el producto punto de dos vectores:

El primer vector en este producto punto se presenta no solo al calcular las derivadas direccionales, sino también en muchos otros contextos. Por eso se le da un nombre especial, gradiente de f, y una notación especial (grad f,que se lee "nablaf")

Si f es una función de dos variables x y y, entonces el gradiente de f es la función vectorial del gradiente definida por la siguiente fórmula:

16 de diciembre de 2016

Clase 14

PLANOS TANGENTES Y APROXIMACIONES

Sea una funcion f con derivadas parciales continuas, se representa a la ecuación del plano tangente a la superficie z=f(x,y) en el punto P(a,b,c) es:

Aproximación Lineal

Sea f con derivadas parciales continuas. La aproximación lineal de z=f(x,y) en el punto P(a,b,c) es:

Incrementos y diferenciales

Para funciones de una variable y=f(x) , se define el incremento de y como:

y la diferencial de y como:

Δy representa el cambio en la altura de la curva y=f(x) y dy representa la variación de y a lo largo de la recta tangente cuando x varia en una cantidad dx=Δx
En la siguiente figura se muestra df y Δf

Δy - dy se aproxima a cero mas rápidamente que Δx, ya que

y al hacer que Δx→0, tenemos que  Ɛ→0. Entonces:

donde Ɛ→0 conforme Δx→0.

En funciones de dos variables z= f(x,y) . Si x y y son incrementados Δx y Δy, entonces el incremento de z es :

Con lo cual Δz representa el cambio en el valor de f cuando (x , y) cambia a (x + Δx, y + Δy). 

20 de diciembre de 2016

Clase 15

Teorema de aproximación lineal

Los incrementos Δx y Δy se les llama diferenciales de las variables independientes y se denotan por dx y dy.

Observación: Este teorema afirma que el cambio real en z es aproximadamente igual a la diferencial total dz, cuando los incrementos Δx y Δy son pequeños. 

Puntos extremos

Se puede demostrar que los máximos y mínimos de una función son puntos críticos si se alcanzan en puntos interiores (también pueden ser máximos y mínimos puntos en la frontera, pero entonces no son necesariamente críticos).

La función z=f(x,y) en un punto cualquiera (a,b) puede dar los siguentes casos:

  - Si f(x,y) < f(a,b) cuando (x,y) estan cerca de (a,b). El valor f(a,b) recibe el nombre de máximo relativo (MR) de f(x,y).

  - Si f(x,y) > f(a,b) cuando (x,y) estan cerca de (a,b), entonces se dice que f(x,y) tiene un mínimo relativo (mr) en (a,b) 

Prueba de la segunda derivada

Una manera de decidir si los puntos críticos son máximos, mínimos o puntos silla para una función está basada en el estudio de la segunda derivada.

1. Hallar las derivadas parciales fx, fy.
2. Igualar a cero las derivadas parciales fx=0 fy=0 y hallar los puntos críticos.
3. Hallar las derivadas parciales de segundo orden fxx, fxy,fyy.
4. Determinar A= fxx; B=fxfy C=fyy
5. Formar el determinante Jessiano: J=AC-B^2
6. Evaluar si J>0; A<0 o C<0 existe un maximo relativo; si J>0;A>0 o C>0 existe un mínimo relativo; si J<0; puntos de silla en (xo,yo) si J=0; existencia indeterminada.